Dérivation
Dérivation
La dérivation est très utile pour décrire les variations d’un phénomène, en particulier pour déterminer l’existence d’un maximum ou d’un minimum. D’où son emploi dans de nombreuses applications pratiques : minimiser un coût, optimiser une production,…
Soit C le courbe représentative d’une fonction f. Prenons un point de C où la courbe admet plusieurs sécantes : elles coupent la courbe en A et en un autre point M1, M2, M3,…
La courbe C admet une seule tangente (T) en A : la droite (T) « touche » la courbe uniquement au point A. La tangente (T) peut être vue comme position limite des sécantes (AM1), (AM1), (AM
),… lorsque le point M1 se rapproche de A sur la courbe.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On suppose que sa courbe représentative admet au point A, d’abscisse x0, une tangente.
On appelle nombre dérivé de la fonction f en x0, le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse x0.
Ce nombre dérivé se note f’(x0). On lit : »f prime de x zéro ». Pour une fonction f donnée, le nombre dérivé dépend de la valeur de x0.
1. Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La fonction dérivée de f est la fonction qui à tout nombre de I fait correspondre le nombre dérivé de f pour cette valeur.
Elle est notée f’. On lit « f prime ».
2. Dérivées des fonctions usuelles
Pour le calcul des fonctions dérivées, on utilise les formules suivantes, où a et b sont des constantes.
F(x)= k f’(x)=0
F(x)= x f’(x)=1
F(x)= mx+p f’(x)=m
F(x)= x² f’(x)=2x
F(x)= x^n f’(x)=nX^n-1
F(x)= 1/x f’(x)=-1/x²
F(x)= u(x) +v(x) f’(x)= u’(x) + v’(x)
F(x)= au(x) f’(x)= au’(x)
F(x)=Öx f’(x)=1/2Öx
F(x)= sin(x) f’(x)= cos(x)
F(x)= cos(x) f’(x)= -sin(x)
F’= (u/v)’ = (u’v-uv’)/v²
1. Théorème
Soit une fonction f admettant une fonction dérivée f’ sur un intervalle I.
F est croissante sur tout intervalle où la fonction dérivée est positive.
F est décroissante sur tout intervalle où la fonction dérivée est négative.
F est constante sur tout intervalle où la fonction dérivée est nulle.
2. Tableau de variation
L’étude du signe de la fonction dérivée permet de déterminer les intervalles où la fonction est croissante, décroissante ou constante.
On résume les résultats dans un tableau de variation.
3. Minimum et maximum
Soit une fonction f admettant une fonction dérivée f’ sur un intervalle I.
Si la fonction dérivée d’annule pour une valeur x0 de I est changeant de signe, alors la fonction f admet un extremum, minimum ou maximum, pour la valeur x0. Cet extremum est égal à f(x0).
1. Calcule du nombre dérivé
On a vu au début de cette fiche qu’on peut déterminer graphiquement le nombre dérivé en un point.
Mais il est plus rapide et plus précis de le calculer si on connaît l’expression de la fonction dérivée.
Pour déterminer le nombre dérivé de la fonction f en x0, on calcule f’(x0).
2. Equation de la tangente
Soit C la représentation graphique d’une fonction f dérivable sur I. On veut déterminer l’équation de la tangente à C au point d’abscisse x0 appartenant à I. On suppose que cette tangente n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.
L’équation est de la forme y = ax+b.
Le coefficient directeur de la tangente est égal au nombre dérivé en x0. Donc a = f’(x0).
Pour calculer l’ordonnée à l’origine b , on remplace x par x0 et y par f(x0) dans l’équation y = f’(x0) x+b.
On peut aussi retenir par cœur la formule suivante qui donne l’équation de la tangente à C en x0.
Y = f’(x0) (x-x0) + f(x0).
Mais il est conseillé de savoir le retrouver.
Si f(x0) est un extremum de la fonction f, la tangente à C en x0 est u ne droite horizontale dont l’équation est y = f(x0).
Le 30/07/08 by Xababaaâ