Les nombres complexes
Les nombres complexes
Attention : il manque les flèches des vecteurs et le trait du z"barre" est remplacé par /, désolé....
I/Définition
On admet l’existence d’un nombre nouveau, noté i dont le carré est égal à –1. i² =-1
Un nombre complexe est un nombre de la forme a+bi, où a et b sont deux nombres réels. Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe.
Le réel a est la partie réelle du nombre complexe et le nombre réel b est sa partie imaginaire.
L’ensemble des nombre complexe est noté C.
Exemple : z= 7+4i, 7 est la partie réelle de z et 4 est la partie imaginaire.
Cas particulier : Si le nombre complexe z= a+bi, a est partie réelle nulle, on l’écrit simplement bi à la place de 0+b et on dit qu’il s’agit d’un imaginaire pur.
Si un nombre complexe a une partie imaginaire nulle, on l’écrit simplement a à la place de a+0i, et on l’assimile au nombre réel a. L’ensemble R des nombres complexe est inclus dans l’ensemble C des nombres complexes.
Exemple : z= -4i, est un imaginaire pur, sa partie réelle est 0 et sa partie imaginaire est –4
Z= 4+0i est assimilé au réel 4 car sa partie réelle est 4 et sa partie imaginaire 0.
Remarque : Les nombres complexes sont très utilisés en électricité. Afin de na pas risquer de confusion entre l’intensité i du courant et le nombre complexe dont le carré est –1 défini ci dessus, ce nombre est noté j au lieu de i par les physiciens.
z= a+bi est l’affixe du point M (a,b) ou du vecteur OM (a,b).
Le point M (a,b) est le point image du nombre complexe z= a+bi
Remarque : Tout point de l’axe des abscisses a pour affixe un nombre réel et tout nombre réel a pour point image un point de l’axe des abscisses. On dit que dans le plan complexe, l’axe des abscisses est l’axe des réels.
Tout point de l’axe des ordonnées a pour affixe un nombre imaginaire pur et tout nombre imaginaire pur a pour point image un point de l’axe des ordonnées. On dit que dans le plan complexe, l’axe des ordonnées est l’axe des imaginaires.
Théorèmes : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
a+bi = a’+b’i si et seulement si a=a’ et b=b’.
Remarque : En particulier a+bi = 0 si et seulement si a=0 et b=0.
Définition : On définit dans C une opération appelée addition et notée + par :
(a+bi) + (a’+b’i) = (a+a’)+ i(b+b’)
Cette addition a les mêmes propriétés dans C que dans R.
Soit z1 = a1+ b1i le nombre complexe de vecteur image w1 et
V/ Multiplication des nombres complexes
Définition : On définit dans C une opération appelée multiplication et notée x ou . ou « par absence de symbole » par :
(a+bi) x (a’+b’i) = (aa’-bb’) + (ab’+a’b)I
Cette multiplication a les mêmes propriétés dans C que dans R.
Remarques : Les propriétés des opérations dans R restent vraies dans C en particulier :
-La soustraction se définit comme l’addition de l’opposé,
-Les produits remarquables s’appliquent dans C,
-L’addition et la multiplication s’effectuent en utilisant les règles usuelles de calcul et le fait que i² = -1
Les point M et M’ d’affixes conjugués sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Propriété : Le conjugué d’une somme est égal à la somme des conjugués. Le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués.
Soit z et z’ deux nombres complexes :
/(Z+z’) = /z + /z’ et /(z.z’) = /z . /z’
Propriété : Soit z = a+bi un nombre complexe :
Cette dernière propriété signifie que le produit d’un nombre complexe par son conjugué est un nombre réel.
Règle de calcul : Pour déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de l’inverse d’un nombre complexe non nul on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Règle de calcul : Pour effectuer le quotient de deux nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Le 01/07/08 by Xababaa®