Système à plusieurs inconnues
Systèmes à plusieurs inconnues I/ Equations du premier degré à deux inconnues Une équation du premier degré à deux inconnues x et y est une équation de la forme ax + by = c, dans laquelle a, b et c sont des nombres donnés. Exemple : 7x-3y = 17 est une équation à deux inconnues x et y. Un couple de valeur numériques est solution d’une telle équation lorsqu’on obtient une égalité en remplaçant les inconnues par ces valeurs. Exemple : Le couple (2, -1) est une solution de l’équation 7x –3y = 17 car 7x2 – 3x (-1) = 14 + 3 = 17. Pour obtenir un couple solution d’une équation à deux inconnues, on peut fixer la valeur d’une inconnue et calculer la valeur de l’autre. Exemple : Calculons x pour que le couple (x,2) soit solution de l’équation 7x – 3x2 = 17. En remplaçant y par sa valeur 2 dans l’équation, on obtient : 7x – 3x2 = 17 D’où 7x = 17 + 6. On déduit x = 23/7. Le couple (23/7 , 2) est une solution de l’équation 7x – 3y = 17. Une équation du premier degré à deux inconnues a une infinité de solutions. II/ Systèmes de deux équations à deux inconnues 1. Définition : Deux équations à deux inconnues, où figurent les mêmes inconnues, forment un système de deux équations. On fait précéder les deux équations d’une accolade pour signaler que l’on a un système de deux équations. {3x – y = -1 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c’est trouver tous les couples de nombres qui vérifient simultanément les deux équations. Exemple : Le couple (1 ;4) est une solution de système {3x – y = -1 2. Résolution On a le choix entre deux méthodes de résolution. C’est l’examen des équations qui permet d’opter pour une méthode. 2.1Méthode par substitution Pour résoudre un système par substitutions : -on exprime une des inconnues en fonction de l’autre dans une des équations ; -on porte cette expression dans l’autre équation afin d’obtenir une équation à une seule inconnue ; -on résout l’équation à une seule inconnue obtenue; -on en déduit la valeur de l’autre inconnues et le couple solution. {3x + y = 2 On exprime y en fonction de x dans la deuxième équation : y = 2 – 3x. La première équation devient 4x – 5(2 – 3x) = 9. Elle a pour seul inconnue x. 4x – 10 + 15x = 9 19x = 19. D’où x = 1 y = 2-3 x 1 = -1. La solution du système est le couple (1 ;-1). 2.2 Méthode par addition Pour résoudre un système par addition : -on multiplie une équation (ou les deux) par des nombres choisis de façon que les coefficients d’un inconnue deviennent opposés ; -on élimine cette inconnue par addition membre à membre des deux équations ; on en déduit le valeur de l’autre inconnue et le couple solution. Exemple : Soit le système précédent : {3x + y = 2 On multiplie chaque terme de la deuxième équation par 5 : 15x + 5y = 10 On additionne membre a membre : 19x = 19. D’où x =1 4 x 1 – 5 x y = 9. D’où y = -1 La solution du système est le couple (1 ;-1). Les systèmes d’équations peuvent avoir trois, quatre,… inconnues. Pour résoudre ces systèmes, on peut généraliser les deux méthodes vues précédemment pour les systèmes à deux inconnues. Pour résoudre un système par substitution : -on exprime les inconnues en fonction d’une seule d’entre elles à l’aide des différentes équations sauf une ; -on porte ces expression dans l’équation qui n’a pas encore été utilisée pour obtenir une équation à une seule inconnue ; -on résout l’équation à une seule inconnue obtenue ; -on en déduit la valeur des autres inconnues et la solution du système. {x + y + z = 14 {y - x = 5 {y – z = 8 {x + y + z = 14 {x = y – 5 {z = y – 8 On remplace x et z par les expressions trouvées dans la première équation : (y – 5) + y + (y – 8) = 14 3y = 27 y = 9 ; x = 9 – 5 = 4 ; z = 9 – 8 = 1. La solution du système est le triplet : (4 ; 9 ; 1 ). Le 01/07/08 by Xababaa® III/ Système à plus de deux inconnues