Généralités sur les fonctions

Les fonctions permettent de décrire les variations de certains phénomènes physiques, économiques… Ce chapitre présente le vocabulaire et les modes de représentation que l’on rencontre de façon usuelle.

I/ Expression algébrique d’une fonction

Définir une fonction f sur un intervalle [a ;b], c’est donner un procédé qui, a chaque valeur de la variable x de l’intervalle [a ;b], fait correspondre un seul nombre noté f(x).

On dit que le nombre x a pour image le nombre f(x) par la fonction f.

II/ Représentation graphique d’une fonction

Rappel : Dans un repère du plan, l’axe horizontal est l’axe des abscisses, l’axe vertical est l’axe des ordonnées. Tout point du plan est repéré par son couple de coordonnées (abscisse ;ordonnée).

Dans un repère du plan, la courbe C, ensemble des points M de coordonnées (x ; f(x)), est appelée représentation graphique de la fonction f ou courbe représentative de la fonction f.

On dit que y=f(x) est l’équation de la courbe représentative de f.

III/ Sens de variation

1.    Vocabulaire

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous nombres a et b de I, a est inférieur ou égal à b entraine f(a) est inférieur ou égal à f(b).

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous nombres a et b de I, a est inférieur ou égal à b entraine f(a) est supérieur ou égal à f(b). Autrement dit si les valeurs de x augmentent, les valeurs de f(x) diminuent.

Une fonction f est constante si pour tous nombres a et b de I, f(a) = f(b). Autrement dit, f(x) a la même valeur quel que soit x appartenant à I.

2.    Tableau de variation

Le tableau de variation d’une fonction résume son sens de variation. On met sur la première ligne du tableau les valeurs particulières de x. On met sur la deuxième ligne les images de ces valeurs par f.

On trace : une flèche qui monte sur les intervalles où la fonction est croissante ;

Une flèche qui descend sur les intervalles où la fonction est décroissante ;

Une flèche horizontale sur les intervalles où la fonction est constante.

IV/ Minimum et maximum

Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ;b]. La fonction f admet un minimum m sur [a ;b] lorsque m est la plus petite valeur de f(x).

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [a ;b]. La fonction f admet un maximum M sur [a ;b] lorsque M est la plus grandes valeur de f(x).

V/ Parité

1.    Fonction paire

Soit a un nombre positif et I un intervalle de la forme [-a ;a].

Une fonction f définie sur I est paire si :

F(-x) = f(x) pour tout x de I.

La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

2.    Fonction impaire

Soit a un nombre positif et I un intervalle de la forme [-a ;a].

Une fonction f défini sur I est impaire si :

F(-x) = -f(x) pour tout x de I.

La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’origine du repère.

VI/ Périodicité

Soit une fonction f définie sur ]-¥ ;+¥[ et T un nombre non nul.

Si f est périodique de période T, alors f(x+T) = f(x).

Le 23/07/08 by XababaaÒ